Question

2．如图，已知∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，求证：点A，B，C，D四点共圆．

Answer 1

分析 过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，则C在圆外或圆内，分点C在圆外和点C在圆内两种情况利用反证法证得A，B，C，D四点共圆即可．

解答 证明：过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，则C在圆外或圆内，
若C在圆外，如图1，设BC交圆O于C′，
根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC′B=180°，
∵∠A+∠C=180°，
∴∠DC′B=∠C，
这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外；
类似地（如图2）点C不可能在圆内；
∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆．

点评 本题考查了四点共圆的知识及反证法的知识，用反证法证明结论时，首先否定结论，然后从假设出发得到矛盾，从而肯定结论，难度中等．