Question

【题目】（11分）如图，四边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连结DE并延长交AB于点F，连结BE．

（1）如图①，求证：∠AFD=∠EBC；

（2）如图②，若DE=EC且BE⊥AF，求∠DAB的度数；

（3）若∠DAB=90°且当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数（只写出条件与对应的结果）

Answer 1

【答案】（1）证明见试题解析；（2）60°；（3）30°或120°．

【解析】

试题（1）利用“SAS”得出△DCE≌△BCE，即可得出答案；

（2）利用等腰三角形的性质结合垂直的定义得出∠DAB的度数；

（3）分两种情况讨论：①当F在AB延长线上时，②当F在线段AB上时，分别求出即可．

试题解析：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴DC=CB，在△DCE和△BCE中，∵DC=CB，∠DCE=∠BCE，EC=EC，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠EDC=∠EBC，∵DC∥AB，∴∠EDC=∠AFD，∴∠AFD=∠EBC；

（2）∵DE=EC，∴∠EDC=∠ECD，设∠EDC=∠ECD=∠CBE=x°，则∠CBF=2x°，由BE⊥AF得：2x+x=90°，解得：x=30°，∴∠DAB=∠CBF=60°；

（3）分两种情况：①如图1，当F在AB延长线上时，

∵∠EBF为钝角，∴只能是BE=BF，设∠BEF=∠BFE=x°，则：90+x+x+x=180，解得：x=30，∴∠EFB=30°；

②如图2，当F在线段AB上时，

∵∠EFB为钝角，∴只能是FE=FB，设∠BEF=∠EBF=x°，则有∠AFD=2x°，可证得：∠AFD=∠FDC=∠CBE，得x+2x=90，解得：x=30，∴∠EFB=120°，

综上所述：∠EFB=30°或120°．