Question

已知：抛物线y=kx²+（k+1）x+

k

4

．
（1）求k=4时，与x轴的交点；
（2）命题“抛物线y=kx²+（k+1）x+

k

4

=0与x轴一定有两个交点”是否正确？正确的话，请证明；不正确的话，请举一个反例；
（3）直线y=x与抛物线的有几个交点？并加以说明．

Answer 1

分析：（1）把k=4代入抛物线y=kx²+（k+1）x+

k

4

，然后令y=0，再解方程求出与x轴的交点；
（2）令y=0，得到方程kx²+（k+1）x+

k

4

=0，根据方程根的判别式与0的关系来证明；
（3）把y=x与抛物线y=kx²+（k+1）x+

k

4

联立方程，然后再根据方程的判别式来判断两函数交点的个数．

解答：解：（1）当k=4时，有
y=4x²+5+1，
令y=0，得4x²+5+1=0，
解得x=-1或-

1

4

；

（2）令y=0得方程，
kx²+（k+1）x+

k

4

=0
△=（k+1）²-4k×

k

4

=2k+1，
当k=-

1

2

时，△=0，方程只有一根，
抛物线y=kx²+（k+1）x+

k

4

=0与x轴只有一个交点；
∴这句话错误；

（3）已知直线y=x和抛物线y=kx²+（k+1）x+

k

4

，
∴kx²+（k+1）x+

k

4

=x，
得到方程kx²+kx+

k

4

=0，
△=k²-4×k×

k

4

=0，
∴直线y=x与抛物线的有1交点．

点评：此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与x轴无交点，其图象在x轴上方或下方，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．