Question

【题目】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，

（1）求证：∠DHO=∠DCO．

（2）若OC=4，BD=6，求菱形ABCD的周长和面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）20，24

【解析】

（1）根据菱形的性质可得OD=OB，AB∥CD，BD⊥AC，从而得出DH⊥CD，∠DHB=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=OD=OB，然后根据等边对等角可得解图中∠1=∠DHO，然后根据同角的余角相等和等量代换即可得出∠DHO=∠DCO；

（2）根据菱形的性质可得OD=OB=BD=3，OA=OC=4，BD⊥AC，然后根据勾股定理即可求出CD，从而求出菱形的周长，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求出菱形的面积．

证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴OD=OB，AB∥CD，BD⊥AC，

∵DH⊥AB，

∴DH⊥CD，∠DHB=90°，

∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，

∴OH=OD=OB，

∴∠1=∠DHO，

∵DH⊥CD，

∴∠1+∠2=90°，

∵BD⊥AC，

∴∠2+∠DCO=90°，

∴∠1=∠DCO，

∴∠DHO=∠DCO

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴OD=OB=BD=3，AC=2OC=8，BD⊥AC，

在Rt△OCD中，CD=

菱形的周长=4CD=20，

菱形ABCD的面积=BD·AC=24．