Question

【题目】已知：平面直角坐标系中，A(a，3)、B(b，6)、C(c，1)，a、b、c都为实数，并且满足3b－5c＝－2a－18，4b－c＝3a＋10

(1) 请直接用含a的代数式表示b和c

(2) 当实数a变化时，判断△ABC的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围

(3) 当实数a变化时，若线段AB与y轴相交，线段OB与线段AC交于点P，且S△PAB＞S△PBC，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）S△ABC＝13为定值；（3）

【解析】

（1）由4b－c＝3a＋10可知c=4b-3a-10，把c代入3b－5c＝－2a－18可用a 表示出b，同理可表示c；（2）如图构造梯形，根据S△ABC=S梯形ADEC-S△ADB-S△CBE可证明S△ABC是定值，所以△ABC的面积无变化；（3）作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥x轴，根据S△PAB＞S△PBC可知AP＞PC，进而可得S△OAP＞S△OPC，所以S△OAB＞S△OBC，利用梯形和三角形的面积差可表示出△OAB和△OBC的面积，即可列出不等式，由AB与y轴相交可得－4≤a≤0，结合前面的不等式求出公共解集即可求出a的取值范围.

（1）∵4b-c=3a+10，

∴c=4b-3a-10，

∵3b－5c＝－2a－18，

∴3b-5(4b-3a-10)=-2a-18，

∴b=a+4，

同理可得：c=a+6，

∴

(2) 构造如图所示的梯形：

S△ABC＝ （3+5）6- 34- 25=13为定值，

(3) 线段AB与y轴相交，故，

∴－4≤a≤0，

∵S△PAB＞S△PBC，

∴AP＞PC，

∴S△OAP＞S△OPC，

∴S△OAB＞S△OBC，

作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥x轴，

S△OAB=（3+6） - 6- 6=6-a，

S△OBC= （1+6）（）+ 6- =a+16，

∴6-a>a+16，

解得：a<-,

∴