Question

如图1，在ΔABC中，∠A＝2∠B，且∠A＝60°．小明通过以下计算：由题意，∠B＝30°，∠C＝90°，c＝2b，a＝b，得a²－b²＝(b)²－b²＝2b²＝b?c．即a²－b²＝ bc．

于是，小明猜测：对于任意的ΔABC，当∠A＝2∠B时，关系式a²－b²＝bc都成立．

（1）如图2，请你用以上小明的方法，对等腰直角三角形进行验证，判断小明的猜测是否正确，并写出验证过程；

（2）如图3，你认为小明的猜想是否正确，若认为正确，请你证明；否则，请说明理由；

（3）若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A＝2∠B，请直接写出这个三角形三边的长，不必说明理由．

Answer 1

解：(1) 由题意，得∠A=90°，c=b，a=b，

∴a²b²=(b)²b²=b²=bc．

(2) 小明的猜想是正确的．

理由如下：如图3，延长BA至点D，使AD=AC=b，连结CD，

则ΔACD为等腰三角形．

∴∠BAC=2∠ACD，又∠BAC=2∠B，∴∠B=∠ACD=∠D，∴ΔCBD为等腰三角形，

即CD=CB=a，

又∠D＝∠D，∴ΔACD∽ΔCBD，

∴．即．∴a²=b²＋bc．∴a²b²= bc

(3) a=12，b=8，c=10．