Question

【题目】如图，已知在△ABC中，AB＞AC，BE，CF都是△ABC的高线，P是BE上一点，且BP＝AC，Q是CF延长线上一点，且CQ＝AB，连结AP，AQ，QP.求证：

(1)AQ＝PA.

(2)AP⊥AQ.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】试题分析：（1）由已知条件可求出∠ABP=∠QCA，即可根据SAS证得△AQC≌△PAB(SAS)，就可以得出AP=AQ；

（2）根据全等三角形的性质，由△AQC≌△PAB可得出∠BAP=∠CQA，再由∠CQA+∠FAQ=90°，即可证明.

试题解析：(1)∵BE，CF是△ABC的高线，

∴BE⊥AC，CF⊥AB，

∴∠ABP＋∠BAC＝∠ACQ＋∠BAC＝90°，

∴∠ABP＝∠ACQ.

在△AQC和△PAB中，∵

∴△AQC≌△PAB(SAS)．∴AQ＝PA.

(2)∵△AQC≌△PAB，∴∠BAP＝∠CQA.

∵∠CQA＋∠BAQ＝90°，

∴∠BAP＋∠BAQ＝90°，∴AP⊥AQ.