Question

14．如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，点E是BC边上的动点，点P是对角线BD上的动点，若使PC+PE的值最小，则这个最小值为$\sqrt{3}$cm．

Answer 1

分析 根据菱形的性质，得知A、C关于BD对称，根据轴对称的性质，将PE+PC转化为AP+PE，再根据垂线最短知当AE⊥BC时，AE取得最小值．

解答 解：∵四边形ABCD为菱形，
∴A、C关于BD对称，
∴连接AE交BD于P，
则PE+PC=PE+AP=AE，
当AE⊥BC时，AE取得最小值．
∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，
∴AE=AB•sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$cm．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了菱形的性质、轴对称---最短路径问题，解答过程要利用菱形的性质及三角函数的计算，转化为两直线之间垂线最短的问题来解．