Question

 在直角坐标系xOy中，已知某二次函数的图象经过A（－4，0）、B（0，－3），与x轴的正半轴相交于点C，若△AOB∽△BOC（相似比不为1）．

1.（1）求这个二次函数的解析式；

2.（2）求△ABC的外接圆半径r；

3.（3）在线段AC上是否存在点M（m，0），使得以线段BM为直径的圆与线段AB交于N点，且以点O、A、N为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

 

1.⑴∵△AOB∽△BOC（相似比不为1），

∴. 又∵OA=4,OB=3,

∴OC=3²×=.∴点C(,0).                          …………………1分

设图象经过A、B、C三点的函数解析式是y=ax²+bx+c,

则c= -3，且                        …………………2分

即

解得,a=, b=.

∴这个函数的解析式是y =x²+x-3. 

2.⑵∵△AOB∽△BOC（相似比不为1），

  ∴∠BAO=∠CBO.

  又∵∠ABO+ ∠BAO =90°，

  ∴∠ABC=∠ABO+∠CBO=∠ABO+∠BAO=90°.              ………………4分

  ∴AC是△ABC外接圆的直径.

  ∴ r =AC=×[-(-4)]=.

3.⑶∵点N在以BM为直径的圆上，

  ∴ ∠MNB=90°.                                     ……………………6分

①.当AN=ON时，点N在OA的中垂线上，

        ∴点N₁是AB的中点，M₁是AC的中点.

        ∴AM₁= r=，点M₁(-, 0)，即m₁=-.              ………………7分

②. 当AN=OA时，Rt△AM₂N₂≌Rt△ABO，

   ∴AM₂=AB=5，点M₂(1, 0)，即m₂=1.

③. 当ON=OA时，点N显然不能在线段AB上.

综上，符合题意的点M（m，0）存在，有两解：

m= -，或1.    

解析:略