题目内容

如图：AB和CD是两堵和地面BC垂直的墙，两堵墙之间的距离是14米，一个10米长的梯子下端支在地面上某点，上端靠在墙上．
（1）梯子上端靠在AB上一点E处，梯子与地面的夹角∠EMB=60°，保持下端M点不变，把梯子上端靠在CD上一点F处，梯子与地面的夹角∠FMC的正切值等于多少？
（2）如果把梯子下端固定在地面上某一点N处时，可以使梯子上端靠墙AB和靠墙CD得到的两个三角形全等，求这时BN的长度．

解：（1）在Rt△EBM中，
∵∠EMB=60°，EM=10，
∴cos60°= $\text{[math]}$ ，
BM=EMcos60°=10× $\text{[math]}$ =5，
∴MC=14-5=9（m），
∵FM=10，
∴FC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴tan∠FMC= $\text{[math]}$ ；
答：梯子与地面的夹角∠FMC的正切值等于 $\text{[math]}$ ；

（2）当BN=NC时，EN=FN=10，
在Rt△EBN和Rt△FCN中，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴Rt△EBN≌Rt△FCN（HL），
此时N为BC中点，故BN=7，
当BN=FC时，

在Rt△EBN和Rt△NCF中，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴Rt△EBN≌Rt△NCF（HL），
设BN=x，则NC=14-x，FC=x，
∵FN²=NC²+FC²，
∴10²=（14-x）²+x²，
解得：x₁=6，x₂=8，
故BN=6或8．
综上所述：BN的长为6，7，8时，可以使梯子上端靠墙AB和靠墙CD得到的两个三角形全等．
分析：（1）利用cos60°= $\text{[math]}$ ，求出BM的长，进而利用勾股定理求出FC，即可求出梯子与地面的夹角∠FMC的正切值；
（2）利用当BN=NC时，当BN=FC时根据全等三角形的判定分别求出BN的长即可．
点评：此题主要考查了解直角三角形的应用以及全等三角形的判定和性质以及一元二次方程的应用等知识，正确进行分类讨论是解题关键．