Question

【题目】如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F．

（1）求证：∠ABC=2∠CAF；

（2）若AC=， ，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BE的长为8.

【解析】分析：（1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB=90°，又由AF是 O的切线，易证得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，证得：∠ABC=2∠CAF；

（2）连接AE，利用已知条件分别求出BC，CE的长，由BE=BC-CE计算即可．

本题解析：

（1）证明：连结BD.∵AB是的直径，∴∠ADB=90°.∴∠DAB+∠DBA=90°.∵AB=AC,∴2∠ABD=∠ABC,AD= AC.∵AF为⊙O的切线，∴∠FAB=90°.∴∠FAC+∠CAB=90°.∴∠FAC=∠ABD, ∠ABC=2∠CAF.

（2）解：连接AE.∴∠AEB=∠AEC=90°.∵sin∠CAF= , ∠ABD=∠CAF=∠CBD=∠CAE∴sin∠ABD=sin∠CAF=．∵∠ABD=90°,AC=2 ,∴AD= ,AB= =10.∵∠AEC=90°,AC=2 ,∴CE=AC·sin∠CAE=2 , ∴BE=BC-CE=10-2=8.