题目内容

14．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，BC=12，tanC=$\frac{3}{4}$．如果一质点P开始时在AB边的P0处，BP0=3．P第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且$\frac{{A{P_0}}}{AB}=\frac{{A{P_1}}}{AC}$；第二步从P1跳到BC边的P2（第2次落点）处，且$\frac{{C{P_1}}}{AC}=\frac{{C{P_2}}}{BC}$；第三步从P2跳到AB边的P3（第3次落点）处，且$\frac{{B{P_2}}}{BC}=\frac{{B{P_3}}}{AB}$；…；质点P按照上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2014与点P2015之间的距离为（　　）
A．6B．5C．4D．3

分析 根据题意，观察循环规律，由易到难，由特殊到一般，找到点P2014以及点P2015的位置，进而得出答案．

解答 解：如图，在Rt△ABC中，
∵BC=12，tan∠C=$\frac{3}{4}$，∠B=90°，
∴AB=9，AC=15，
由题意：BP0=P0P3=P3A=3，AP4=P4P1=P1C=5，CP2=P2P5=P5B=4，
P6与P0重合，从P6开始出现循环，
∵2014÷6的余数是4，
∴P2014与P4重合，
∴P2014P2015=P4P5，
∵P4P5∥BA，
∴$\frac{{P}_{4}{P}_{5}}{AB}$=$\frac{C{P}_{5}}{CB}$，
∴$\frac{{P}_{4}{P}_{5}}{9}$=$\frac{8}{12}$$\frac{{P}_{5}{P}_{6}}{9}=\frac{8}{12}$，
∴P4P5=6
∴P2014P2015=P4P5=6．
故选A．

点评 此题主要考查了图形变化规律、平行线分线段成比例定理，通过列举几个落点之间的距离，寻找一般规律是解题关键．

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A．4044B．4046C．4048D．4050
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