题目内容
在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过M作直线交另一边于N，使截得的三角形与原三角形相似，求MN长．
考点：相似三角形的判定
专题：
分析：作出图形，然后分①点N在AC上，分AM和AB与AC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；②点N在BC上，求出BM，再分BM和AB与BC是对应边，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
解答：
解：如图，①点N在AC上，若AM和AB是对应边，
∵△AMN∽△ABC，
∴
=
，
即
=
，
解得MN=4，
若AM和AC是对应边，
∵△AMN∽△ACB，
∴
=
，
即
=
，
解得MN=6；
②点N在BC上，BM=AB-AM=9-3=6，
若BM和AB是对应边，
∵△MBN∽△ABC，
∴
=
，
即
=
，
解得MN=4，
若BM和BC是对应边，
∵△NBM∽△ABC，
∴
=
，
即
=
，
解得MN=3，
综上所述，MN的长为3或4或6．
解：如图，①点N在AC上，若AM和AB是对应边，∵△AMN∽△ABC，
∴
| AM |
| AB |
| MN |
| BC |
即
| 3 |
| 9 |
| MN |
| 12 |
解得MN=4，
若AM和AC是对应边，
∵△AMN∽△ACB，
∴
| AM |
| AC |
| MN |
| BC |
即
| 3 |
| 6 |
| MN |
| 12 |
解得MN=6；
②点N在BC上，BM=AB-AM=9-3=6，
若BM和AB是对应边，
∵△MBN∽△ABC，
∴
| BM |
| AB |
| MN |
| AC |
即
| 6 |
| 9 |
| MN |
| 6 |
解得MN=4，
若BM和BC是对应边，
∵△NBM∽△ABC，
∴
| BM |
| BC |
| MN |
| AC |
即
| 6 |
| 12 |
| MN |
| 6 |
解得MN=3，
综上所述，MN的长为3或4或6．
点评：本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形的对应边成比例，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
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