Question

如图所示：下列正多边形都满足BA₁=CB₁，在正三角形中，我们可推得：∠AOB₁=60°；在正方形中，可推得：∠AOB₁=90°；在正五边形中，可推得：∠AOB₁=108°，依此类推在正八边形中，∠AOB₁=

 

°，在正n（n≥3）边形中，∠AOB₁=

 

°．

Answer 1

分析：如图4，根据正八边形的性质可以得出AB=BC，∠ABC=∠BCD=135°，就可以得出△ABA₁≌△BCB₁，就可以得出∠CBB₁=∠BAA₁，就可以得出∠AOB₁=135°，由正三角形中∠AOB₁=60°=

(3-2)×180

3

，正方形中，∠AOB₁=90°=

(4-2)×180

4

；正五边形中，∠AOB₁=108°=

(5-2)×180

5

，…正n（n≥3）边形中，∠AOB₁=

(n-2)180

n

，就可以得出结论．

解答：解：∵多边形ABCDEFGH是正八边形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=135°．
在△ABA₁和△BCB₁中，

AB=BC ∠ABC=∠BCD BA1=CB1

，
∴△ABA₁≌△BCB₁（SAS）
∴∠CBB₁=∠BAA₁．
∵∠AOB₁=∠ABO+∠BAA₁．
∴∠AOB₁=∠ABO+∠CBB₁
∴∠AOB₁=∠ABO+=∠CBB₁=135°；
∵在正三角形中∠AOB₁=60°=

(3-2)×180

3

，
在正方形中∠AOB₁=90°=

(4-2)×180

4

；
在正五边形中，∠AOB₁=108°=

(5-2)×180

5

；
…
∴在正n（n≥3）边形中，∠AOB₁=

(n-2)180

n

，
故答案为：135，

(n-2)•180°

n

．

点评：本题考查了正多边形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．