题目内容
10．【图形定义】用一条直线去截一个多边形，如果截得的一个图形与原多边形相似，那么称这条直线是这个多边形的特征线．
【概念理解】
如图1，在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，过点C作一条直线交AB于点D，若直线CD是△ABC的特征线，求∠ACD的度数；
【问题探究】
如图2，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC是对角线，作DE⊥AC，垂足为E，DE的延长线交BC于点F，过点F作直线FG⊥AD，垂足为G，则直线FG是矩形ABCD的特征线吗？请说明你的理由．
分析 （1）分两种情形讨论①如图1中，直线CD是△ABC的特征线，此时△ACD∽△ABC．②如图3中，直线CD是△ABC的特征线，此时△CBD∽△ABC，分别求解即可．
（2）结论：直线FG是矩形的特征线．只要证明△DCF∽△ADC，推出$\frac{CF}{DC}$=$\frac{DC}{AD}$，推出矩形DCFG∽矩形ABCD，即可．
解答 解：（1）①如图1中，直线CD是△ABC的特征线，
此时△ACD∽△ABC，
∴∠ACD=∠B，
∵∠B=60°，
∴∠ACD=60°．
②如图3中，直线CD是△ABC的特征线，
此时△CBD∽△ABC，
∴∠BCD=∠A，
∵∠A=50°，
∴∠BCD=50°，
∵∠A=50°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=70°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=70°-50°=20°．
（2）结论：直线FG是矩形的特征线．
证明：如图2中，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠DCF=90°，
∵FG⊥AD，
∴∠DGF=90°，
∴四边形DCFG是矩形，
∵DF⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE+∠CDE=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠DCE+∠DAC=90°，
∴∠CDE=∠DAC，
∵∠DCF=∠ADC，
∴△DCF∽△ADC，
∴$\frac{CF}{DC}$=$\frac{DC}{AD}$，
∴矩形DCFG∽矩形ABCD，
∴直线FG是矩形ABCD的特征线．
点评 本题考查矩形综合题、相似三角形的判定和性质、相似多边形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，掌握相似多边形的判定方法，属于中考压轴题．
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