Question

14．如图，AD是△ABC的中线，AE⊥AB，AF⊥AC，且AE=AB，AF=AC．求证：
（1）EF=2AD；
（2）EF⊥AD．

Answer 1

分析 （1）首先利用SAS证得△AEF≌△ABC，从而得到EF=BC，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BC=2AD，从而得到EF=2AD；
（2）延长DA交EF于点G，利用（1）题得到全等三角形的对应角相等得到∠GAF+∠F=90°之后即可证得结论．

解答 证明：（1）在△AEF和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAF=∠BAC}\\{AC=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△ABC，
∴EF=BC，
∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠EAF=∠BAC=90°，
∵AD是△ABC的中线，
∴BC=2AD，
∴EF=2AD；

（2）延长DA交EF于点G，
∵△AEF≌△ABC，
∴∠F=∠C，
∵AD=BD=CD，
∴∠B=∠BAD=∠GAF，
∵∠B+∠C=90°，
∴∠GAF+∠F=90°，
∴DA⊥EF；

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是选择合适的方法对三角形进行全等证明，难度不大．