题目内容

如图，M为⊙O上的一点，⊙M与⊙O相交于A、B两点，P为⊙O上任意一点，直线PA、PB分别交⊙M于C、D两点，直线CD交⊙O于E、F两点，连接PE、PF、BC，下列结论，其中正确的有（　　）
①PE=PF；②PE²=PA•PC；③EA•EB=EC•ED；④

（其中R、r分别为⊙O、⊙M的半径）

A、①②③	B、①②④
C、②④	D、①②③④

分析：首先利用圆周角定理以及三角形的外角证明∠F=∠PEF，即可得出PE=PF，再利用圆周角定理证明△PAE∽△PEC，得出PE²=PA•PC，作直径CH，PN，得出△BCH∽△BPN，
即可得出

，最后证明PC=PB，得出

，即EA•EB=EC•ED．

解答：

解：连接AB，
∵

，
∴∠APE=∠ABE，
∵∠PEF=∠ACD+∠APE，
=∠ABP+∠ABE，
=∠PBE，
∵

，
∴∠F=∠PBE，
∴∠F=∠PEF，
∴PE=PF，故①选项正确；

∵

，
∴∠ABP=∠AEP，
∵

，
∴∠ABP=∠ACD，
∴∠AEP=∠ACD，
∵∠APE=∠APE，
∴△PAE∽△PEC，
∴

，
∴PE²=PA•PC，故②正确；

作直径CH，连接BH，∴∠CBH=90°，
作直径PN，连接BN，∴∠PBN=90°，
∴∠CBH=∠PBN，
∵

，
∴∠BAC=∠H，
∵∠BAC=∠N（圆内接四边形的外角等于内对角），
∴∠H=∠N，
△BCH∽△BPN，
∴

，故此④选项正确；

如图（2）连接MA，MB，MC，

∴MA=MB=MC，
设∠MAC=∠MCA=α，
∠MCB=∠MBC=β，
∠MAB=∠MBA=γ，
∵

，
∴∠MAB=∠MBA=

∠APB，
∴∠APB=2γ，
∴∠CAB=∠APB+∠ABP，
α+γ=2γ+∠ABP，
∴∠ABP=α-γ，
∴∠PBC=∠ABP+∠ABC=α-γ+β+γ=α+β，
∴∠PCB=α+β，∴∠PBC=∠PCB，
∴PC=PB，
如图（1）∵PE=PF，PE²=PA•PC=PD•PB，
∴PE•PF=PD•PC，
∴

，
∵△PAE∽△PEC，
∴

，
∵△BDE∽△FDP，
∴

，
∴