Question

为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平的桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按照如图（1）的方法（其中铁环与三角板的斜边相切）得到相关数据，进而求得铁环的半径．
（1）若测得PA=5cm，求铁环的半径；
（2）在相同的条件下，请你再设计一种测量圆形铁环半径的方法，画出设计草图，并说明理由．

Answer 1

解：（1）连接OP、OD、OA，则∠OPA=90°，∠ODA=90°；
∵∠BAC=60°，
∴∠PAD=120°；
∵PA、AD都是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠PAD=60°；
在Rt△OPA中，PA=5cm，则OP=5cm，
即⊙O的半径为5cm．

（2）如图；令直角三角板的直角边与⊙O相切，切点为D；
∵CP、CD都是⊙O的切线，
∴∠OPC=∠ODC=∠PCD=90°，
∴四边形OPCD是矩形；
又∵OP=OD，
∴四边形OPCD是正方形；
因此测得PC的长，即为铁环的半径．

分析：（1）连接OP、OD、OA；由∠BAC=60°可得∠PAD=120°，由于PA、AD都是⊙O的切线，由切线长定理可得∠OAP=∠PAD，即可根据PA的长和∠OAP的度数在Rt△OPA中求得铁环的半径．
（2）参照（1）的思路，可让直角三角板的直角边BC与⊙O相切，切点仍为D，那么四边形PODC为正方形，测得的PC的长即为铁环的半径．
点评：此题主要考查了切线的性质、切线长定理、正方形的判定和性质等知识，难度适中．