Question

在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求这个二次函数的关系解析式；

（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！

（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）存在点，使△ACP的面积最大（3）存在。点（4）存在。点。（5）点

【解析】解：（1）由抛物线过A（－3，0），B（1，0），则

，解得 。

∴二次函数的关系解析式为。

（2）设点P坐标为（m，n），则。

连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N。

PM =， ，AO=3。

当时，，所以OC=2。

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∵＜0，∴函数有最大值，当时，有最大值。

  此时。

∴存在点，使△ACP的面积最大。                   

（3）存在。点。

（4）存在。点。

（5）点。

（1）将点A、B的坐标代入即可求得a、b，从而得到二次函数的关系解析式。

（2）设点P坐标为（m，n），则。连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，根据求出S关于m的二次函数，根据二次函数最值求法即可求解。

（3）分BQ为斜边和CQ为斜边两种情况讨论即可。

（4）分△BQE∽△AOC，△EBQ∽△AOC，△QEB∽△AOC三种情况讨论即可。

（5）分AC是边和对角线两种情况讨论即可。