Question

给出下列命题：①在△ABC中，AD是BC边上的高线，且AB²=BD•BC，则∠BAC=Rt∠；②在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD和∠BCD，则这个四边形的对角线互相垂直；③两个相似的直角三角形的斜边互相垂直，则它们的另外两条对应边分别互相垂直．
在上述命题中，正确的命题是

 

（把正确命题的序号写在横线上）

Answer 1

分析：（1）根据AB²=BD•BC和∠B=∠B得到△ABC∽△CBA，从而求出∠BAC=90°；
（2）证出△ADC≌△ABC，继而证明△ADO≌△ABO；从而得到∠AOD=∠AOB=90°；
（3）根据△DGH∽△FCH和直角三角形的性质，得到EF⊥BC．

解答：解：（1）如图，
∵AB²=BD•BC，
∴

AB

BD

=

BC

AB

，
又∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBA，
∴∠BAC=∠BDC，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
故本选项正确；

（2）∵∠DAC=∠BAC；AC=AC；∠DCA=∠BCA；
∴△ADC≌△ABC；
∴AD=AB；
∴在△ADO和△ABO中，
AD=AB；∠DAO=∠BAO；AO=AO；
∴△ADO≌△ABO；
∴∠AOD=∠AOB=90°．
故本选项正确；

（3）如图，DF⊥AC，
易得△DGH∽△FCH，
∴∠D=∠CFD，
∴∠D+∠EFD=90°，
∠CFD+∠EFD=90°，
∴EF⊥BC．
同理可证，ED⊥AB．
故本选项正确．

故答案为：①②③．

点评：此题有三个命题，均考查了相似三角形的性质与判定或全等三角形的判定与性质，可见其在解题中的作用，要认真领会．