Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ABC=900，AC=2BC=，点O在边AB上，以点O为圆心，，OB的长为半径的圆恰好与AC相切于D，与边AB相交于点E.

(1)求证：点D为AC的中点；

(2)若点F为半圆BEF上的动点，连接BD、BF、DF，填空：

当∠BDF= 时，四边形BCDF为菱形；

当△BDF为直角三角形时，BF= .

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）①60°；②2或1.

【解析】分析：（1）连接OD，只要证明△BCD是等边三角形，△ABD是等腰三角形即可证得结论；

（2）①当DF⊥AB时，四边形BCDF是菱形，因为∠BDC=60°, ∠ADF=60°,可求出∠BOF的度数；

②分别从∠BDF=90°，∠DBF=90°，∠BFD=90°去分析求解，即可求得答案．

详解：，

，

∵BC=CD,

∴△BCD是等边三角形，

∴BC=CD=BD.

如图，连接，

，

，

,

∴∠OBD=∠ODB=30°,

∴∠OBD=∠A,

∴BD=AD,

∴CD=AD,

即点D为AC的中点；

（2）①当DF⊥AB时，四边形BCDF是菱形；

如图，设DF交AB于点M，则DF=2DM，

∵∠A=30°，

∴AD=2DM，

∴DF=AD=BC，

∵∠ABC=90°，

∴DF∥BC，

∴四边形BCDF是平行四边形，

∵BC=CD，

∴四边形BCDF是菱形；

∵∠A=30°，

∴∠ADM=90°-30°=60°,

∴∠BDF=180°-60°-60°=60°，

②若∠BDF=90°，则点E与点F重合，

∵AC=2BC=，

∴BD=，

∴BF=；

若∠DBF=90°，则DF是直径，

∴BF=;

若∠BFD=90°，

∵AD不是直径，

∴∠AED≠90°；

综上可得：当△BDF为直角三角形时，BF等于2或1．