Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC分别与AB、AC交于点G、F，连接CG。

（1）求证：四边形BCGD是菱形；
（2）若BC=1，求DF的长。

Answer 1

解：（1）证明：∵CD⊥AB于E，∠A=30°，
∴，
∵CD=AC，
∴即E为CD中点，
∴DG=CG，BC=BD，
∴∠DGE=∠CGE，
∵DF∥BC，
∴∠DGE=∠GBC，
∴∠GBC=∠CGE，
∴CG=BC，
∴DG=CG=BC=BD，
∴四边形BCGD是菱形；
（2）∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，AB=2BC=2，
∵CG=BC，
∴△CGB为等边三角形，
∴GB=BC=1，
∴AG=AB-BG=1，
∵DF∥BC，
∴∠AFD=∠ACB=90°，
∴
∵DG=BC=1，
∴。