题目内容
（2013•咸宁）如图，已知直线y=| 1 | 3 |
（1）点C的坐标是
（0，3）
（0，3）
线段AD的长等于4
4
；（2）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x2+bx+c经过点C，M，求抛物线的解析式；
（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由．
分析：（1）首先求出图象与x轴交于点A，与y轴交于点B的坐标，进而得出C点坐标以及线段AD的长；
（2）首先得出点M是CD的中点，即可得出M点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；
（3）分别根据当点F在点C的左边时以及当点F在点C的右边时，分析四边形CFPE为菱形得出即可．
（2）首先得出点M是CD的中点，即可得出M点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；
（3）分别根据当点F在点C的左边时以及当点F在点C的右边时，分析四边形CFPE为菱形得出即可．
解答：
解：（1）∵直线y=
x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴y=0时，x=-3，x=0时，y=1，
∴A点坐标为：（-3，0），B点坐标为：（0，1），
∴OC=3，DO=1，
∴点C的坐标是（0，3），线段AD的长等于4；
（2）∵CM=OM，
∴∠OCM=∠COM．
∵∠OCM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°，
∴∠ODM=∠MOD，
∴OM=MD=CM，
∴点M是CD的中点，
∴点M的坐标为（
，
）．
（说明：由CM=OM得到点M在OC在垂直平分线上，所以点M的纵坐标为
，再求出直线CD的解析式，进而求出点M的坐标也可．）
∵抛物线y=x2+bx+c经过点C，M，
∴
，
解得：
．
∴抛物线y=x2+bx+c的解析式为：y=x2-
x+3．
（3）抛物线上存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形．
情形1：如图1，当点F在点C的左边时，四边形CFEP为菱形．
∴∠FCE=∠PCE，
由题意可知，OA=OC，
∴∠ACO=∠PCE=45°，
∴∠FCP=90°，
∴菱形CFEP为正方形．
过点P作PH⊥CE，垂足为H，
则Rt△CHP为等腰直角三角形．
∴CP=
CH=
PH．
设点P为（x，x2-
x+3），则OH=x2-
x+3，PH=x，
∵PH=CH=OC-OH，
∴3-（x2-
x+3）=x，
解得：x=
∴CP=
CH=
×
=
，
∴菱形CFEP的周长l为：
×4=10
．
情形2：如图2，当点F在点C的右边时，四边形CFPE为菱形．
∴CF=PF，CE∥FP．
∵直线AC过点A（-3，0），点C（0，3），
∴直线AC的解析式为：y=x+3．
过点C作CM⊥PF，垂足为M，
则Rt△CMF为等腰直角三角形，CM=FM．
延长PF交x轴于点N，
则PN⊥x轴，∴PF=FN-PN，
设点P为（x，x2-
x+3），则点F为（x，x+3），
∴FC=
x，FP=（x+3）-（x2-
x+3）=-x2+
x，
∴
x=-x2+
x，
解得：x=
-
，
∴FC=
x=
-2，
∴菱形CFEP的周长l为：（
-2）×4=18
-8．
综上所述，这样的菱形存在，它的周长为10
或18
-8．
解：（1）∵直线y=| 1 |
| 3 |
∴y=0时，x=-3，x=0时，y=1，
∴A点坐标为：（-3，0），B点坐标为：（0，1），
∴OC=3，DO=1，
∴点C的坐标是（0，3），线段AD的长等于4；
（2）∵CM=OM，
∴∠OCM=∠COM．
∵∠OCM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°，
∴∠ODM=∠MOD，
∴OM=MD=CM，
∴点M是CD的中点，
∴点M的坐标为（
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（说明：由CM=OM得到点M在OC在垂直平分线上，所以点M的纵坐标为
| 3 |
| 2 |
∵抛物线y=x2+bx+c经过点C，M，
∴
|
解得：
|
∴抛物线y=x2+bx+c的解析式为：y=x2-
| 7 |
| 2 |
（3）抛物线上存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形．
情形1：如图1，当点F在点C的左边时，四边形CFEP为菱形．
∴∠FCE=∠PCE，
由题意可知，OA=OC，
∴∠ACO=∠PCE=45°，
∴∠FCP=90°，
∴菱形CFEP为正方形．
过点P作PH⊥CE，垂足为H，
则Rt△CHP为等腰直角三角形．
∴CP=
| 2 |
| 2 |
设点P为（x，x2-
| 7 |
| 2 |
| 7 |
| 2 |
∵PH=CH=OC-OH，
∴3-（x2-
| 7 |
| 2 |
解得：x=
| 5 |
| 2 |
∴CP=
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 2 |
5
| ||
| 2 |
∴菱形CFEP的周长l为：
5
| ||
| 2 |
| 2 |
情形2：如图2，当点F在点C的右边时，四边形CFPE为菱形．
∴CF=PF，CE∥FP．
∵直线AC过点A（-3，0），点C（0，3），
∴直线AC的解析式为：y=x+3．
过点C作CM⊥PF，垂足为M，
则Rt△CMF为等腰直角三角形，CM=FM．
延长PF交x轴于点N，
则PN⊥x轴，∴PF=FN-PN，
设点P为（x，x2-
| 7 |
| 2 |
∴FC=
| 2 |
| 7 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
∴
| 2 |
| 9 |
| 2 |
解得：x=
| 9 |
| 2 |
| 2 |
∴FC=
| 2 |
9
| ||
| 2 |
∴菱形CFEP的周长l为：（
9
| ||
| 2 |
| 2 |
综上所述，这样的菱形存在，它的周长为10
| 2 |
| 2 |
点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及菱形的判定与性质等知识，根据已知进行分类讨论得出是解题关键．
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