Question

（1）如图1，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD．求证：△OAB是等腰三角形．
（2）某路口设立了交通路况显示牌（如图2）．已知立杆AB 高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC的高度．

Answer 1

分析：（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，可得∠D=∠C=90°，然后根据AC=BD，AB=BA，得出Rt△ABC≌Rt△BAD，然后可得∠DBA=∠CAB，继而证明△OAB为等腰三角形；
（2）在Rt△ABD中，知道了AB的长度，可用正切函数求出邻边AD的长；同理在Rt△ADC中，知道了AD的长度，用正切值即可求出对边AC的长，进而由BC=AC-AB得解．

解答：（1）证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠D=∠C=90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵

AB=BA AC=BD

，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠DBA=∠CAB，
∴△OAB是等腰三角形；

（2）解：在Rt△ADB中，
∵∠BDA=45°，AB=3，
∴DA=3，
在Rt△ADC中，∠CDA=60°，
∴tan60°=

CA

AD

，
∴CA=3

3

，
∴BC=CA-BA=（3

3

-3）米．
答：路况显示牌BC的高度是（3

3

-3）米．

点评：本题考查了全等三角形的判定以及解直角三角形的应用，对于解直角三角形应用类题目，关键是构造直角三角形，掌握锐角三角函数的定义．