Question

如图，正比例函数y=

3

2

x与二次函数y=-x²+2x+c的图象都经过点A（2，m）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数图象顶点P的坐标和对称轴；
（3）若二次函数图象的对称轴与正比例函数的图象相交于点B，与x轴相交于点C，点Q是x轴的正半轴上的一点，如果△OBC与△OAQ相似，求点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）先求得m，再将点A的坐标代入二次函数y=-x²+2x+c，即可得出c，
（2）根据二次函数对称轴和顶点坐标的求法即可得出答案；
（3）设Q（x，o）（x＞0）．当x=1时求出点B、C的坐标，再由△OBC∽△OAQ和△OBC∽△OQA时，分别求得点Q的坐标即可．

解答：解：（1）∵正比例函数y=

3

2

x与二次函数y=-x²+2x+c的图象都经过点A（2，m）
∴m=

3

2

×2，m=3（1分）
∴A（2，3），3=-4+4+c
∴c=3（1分）
∴这个二次函数的解析式是y=-x²+2x+3（1分）

（2）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4（1分）
∴这个二次函数图象顶点P的坐标是（1，4），对称轴是直线x=1；（2分）

（3）设Q（x，o）（x＞0）．当x=1时，y=

3

2

x=

3

2

，
∴B(1，

3

2

)，c(1，0)（1分）
当△OBC∽△OAQ时，有

OC

OQ

=

BC

QA

，得OQ=2，Q（2，0）（2分）
当△OBC∽△OQA，有

OB

OQ

=

OC

OA

，得OQ=

13

2

，Q(

13

2

，0)（2分）
∴点Q的坐标是(2，0)，(

13

2

，0)．（1分）

点评：本题是一道二次函数的综合题，考查了用待定系数法求二次函数的解析式、以及对称轴和顶点坐标的求法，难度较大．