题目内容
【题目】综合与实践
问题情境
在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动．发现线段的中点的概念与角的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相借鉴．如图1，点
是线段
上的一点，
是
的中点，
是
的中点．
图1 图2 图3
（1）问题探究
①若
，
，求
的长度；（写出计算过程）
②若
，
，则
___________；（直接写出结果）
（2）继续探究
“创新”小组的同学类比想到：如图2，已知
，在角的内部作射线
，再分别作
和
的角平分线
，
．
③若
，求
的度数；（写出计算过程）
④若
，则
_____________![](https://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/11/27/14/ed63c8b7/SYS202011271400221063772281_ST/SYS202011271400221063772281_ST.026.png"){kind=small}
；（直接写出结果）
（3）深入探究
“慎密”小组在“创新”小组的基础上提出：如图3，若
，在角的外部作射线，再分别作和的角平分线，，若，则__________
．（直接写出结果）
【答案】（1）①3；②
；（2）③40
；④40；（3）
【解析】
（1）①先求出BC，再根据中点求出AM、BN，即可求出MN的长；
②利用①的方法求MN即可；
（2）③先求出∠BOC，再利用角平分线的性质求出∠AOM，∠BON，即可求出∠MON；
④利用③的方法求出∠MON的度数；
（3）先求出∠BOC，利用角平分线的性质分别求出∠AOM，∠BON，再根据角度的关系求出答案即可.
（1）①∵
，
，
∴BC=AB-AC=4，
∵
是
的中点，
是
的中点．
∴
， 
，
∴MN=AB-AM-BN=6-1-2=3；
②∵
，
，
∴BC=AB-AC=a-b，
∵是的中点，是的中点．
∴
，
，
∴MN=AB-AM-BN=
=，
故答案为：；
（2）③∵
，
，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=50，
∵
，
分别平分
和
，
∴∠AOM=15，∠BON=25，
∴∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON=40；
④∵，
，
∴∠BOC=(80-m)，
∵，分别平分和，
∴∠AOM=
，∠BON=（40-
m），
∴∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON=40,
故答案为：40；
（3）∵
，，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=(m-n)，
∵和的角平分线分别是，，
∴∠AOM=,∠CON=
，
∴∠MON=∠AOC-∠AOM-∠CON=
，
故答案为：.
