Question

如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F，求证：EF+AC=AB．

Answer 1

证明：如图，过F作FM⊥AB于点M，
∵AC⊥BD于点E，
∴AE=AC，∠ABD=∠CBD=45°，
∵AF平分∠BAC，
∴EF=MF．
又∵AF=AF，
∴Rt△AMF≌Rt△AEF，
∴AE=AM，
∵∠MFB=∠ABF=45°，
∴MF=MB，
∴MB=EF，
∴EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB．
分析：此题首先根据角平分线的性质可以得到EF=MF，然后利用正方形的性质可以得到条件证明Rt△AMF≌Rt△AEF，再根据全等三角形的性质与等腰直角三角形的性质可以证明题目结论．
点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，发挥它们的作用构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质解题．