Question

如图，已知点A从（1，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形OABC，使点B，C在第一象限内，且∠AOC=60°；以P（0，3）为圆心，PC为半径作圆．设点A运动了t秒，求：
（1）点C的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）当点A在运动过程中，所有使⊙P与菱形OABC的边所在直线相切的t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）过C向x轴引垂线，利用三角函数求出相应的横纵坐标；
（2）⊙P与菱形OABC的边所在直线相切，则可与OC相切；或与OA相切；或与AB相切，应分情况探讨．
解答：解：（1）过C作CD⊥x轴于D．
∵OA=1+t，
∴OC=1+t，
∴OD=OCcos60°=，DC=OCsin60°=．
∴点C的坐标为．

（2）①当⊙P与OC相切时（如图1），切点为C，此时PC⊥OC．
∴OC=OPcos30°，
∴1+t=3•，
∴t=-1．

②当⊙P与OA，即与x轴相切时（如图2），则切点为O，PC=OP．
过P作PE⊥OC于E，则．
∴，
∴t=3-1．

③当⊙P与AB所在直线相切时（如图3），设切点为F，PF交OC于G，则PF⊥OC．
∴FG=CD=，
∴PC=PF=OPsin30°+．
过C作CH⊥y轴于H，则PH²+CH²=PC²．
∴，
化简，得（t+1）²-18（t+1）+27=0，
解得t+1=9．
∵t=9，
∴t=9．
∴所求t的值是，和．
点评：四边形所在的直线和圆相切，那么与各边都有可能相切；
注意特殊三角函数以及勾股定理的应用．