Question

如图，已知点A从（1，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形OABC，使点B，C在第一象限内，且∠AOC=60°；以P（0，3）为圆心，PC为半径作圆．设点A运动了t秒，求：
（1）点C的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）当点A在运动过程中，所有使⊙P与菱形OABC的边所在直线相切的t的值．

Answer 1

分析：（1）过C向x轴引垂线，利用三角函数求出相应的横纵坐标；
（2）⊙P与菱形OABC的边所在直线相切，则可与OC相切；或与OA相切；或与AB相切，应分情况探讨．

解答：解：（1）过C作CD⊥x轴于D．
∵OA=1+t，
∴OC=1+t，
∴OD=OCcos60°=

1+t

2

，DC=OCsin60°=

3 (1+t)

2

．
∴点C的坐标为(

1+t

2

，

3 (1+t)

2

)．

（2）①当⊙P与OC相切时（如图1），切点为C，此时PC⊥OC．
∴OC=OPcos30°，
∴1+t=3•

3

2

，
∴t=

3 3

2

-1．

②当⊙P与OA，即与x轴相切时（如图2），则切点为O，PC=OP．
过P作PE⊥OC于E，则OE=

1

2

OC．
∴

1+t

2

=OPcos30°=

3 3

2

，
∴t=3

3

-1．

③当⊙P与AB所在直线相切时（如图3），设切点为F，PF交OC于G，则PF⊥OC．
∴FG=CD=

3 (1+t)

2

，
∴PC=PF=OPsin30°+

3 (1+t)

2

．
过C作CH⊥y轴于H，则PH²+CH²=PC²．
∴(

1+t

2

)2+(

3 (1+t)

2

-3)2=(

3

2

+

3 (1+t)

2

)2，
化简，得（t+1）²-18

3

（t+1）+27=0，
解得t+1=9

3

±6

6

．
∵t=9

3

-6

6

-1＜0，
∴t=9

3

+6

6

-1．
∴所求t的值是

3 3

2

-1，3

3

-1和9

3

+6

6

-1．

点评：四边形所在的直线和圆相切，那么与各边都有可能相切；
注意特殊三角函数以及勾股定理的应用．