Question

【题目】如图，⊙是△的外接圆，为直径，点是⊙外一点，且，连接交于点，延长交⊙于点．

⑴.证明：=；

⑵.若，证明：是⊙的切线；

⑶.在⑵的条件下，连接交⊙于点,连接;若，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析；（3）

【解析】

（1）连接CO，易证△PCO≌△PAO，得PO为∠APC的角平分线，根据条件证出F为优弧中点，即可证明=；

（2）因为AB是直径，所以∠ACB=90°，由tan∠ABC=可求得∠ABC的正弦和余弦，设⊙O的半径为r，则AB=2r，根据三角函数表示出BC，AC的长度，由勾股定理表示出OD的长度，易得PA=PC=，，PO=PD+OD=3r，由可得PA⊥OA，即可证明是⊙的切线；

（3）连接AE，过E作EN⊥PD于N，过B作BH⊥PF于H，由（2）可得，，PB=，证出△PEA∽△PAB，可得，证出四边形BCDH是矩形，得BH=CD=，在Rt△BPH和Rt△PEN中表示出sin∠BPH，可得 ，，ND=PD-PN=，在Rt△NED中，DE=，代入r=3即可

解：（1）证明：如图，连接CO，

在△PCO和△PAO中，

∴△PCO≌△PAO（SSS），

∴∠CPO=∠APO，即PO为∠APC的角平分线，

∵PA=PC，

∴CD=AD，PF⊥AC，

∵AC为⊙O的弦，PF过圆心O，

∴F为优弧中点，

∴=，

（2）证明：∵AB是⊙O的直径，且弦AB所对圆周角为∠ACB，

∴∠ACB=90°，

∵tan∠ABC=，

∴sin∠ABC=，cos∠ABC=，

设⊙O的半径为r，则AB=2r，

∴BC=ABcos∠ABC=，AC=ABsin∠ABC=，

∴，

∵PA=PC=AB，

∴PA=PC=，

∴，

∴PO=PD+OD=3r，

∴，即PA⊥OA，

又∵OA是⊙O半径，

∴PA是⊙O的切线；

（3）由（2）可得，

∴，

在Rt△PBA中，，连接AE，可得∠AEB=90°，

∴∠PEA=∠PAB=90°，又∠APE=∠APB，

∴△PEA∽△PAB，

∴，

∴，

过E作EN⊥PD于N，过B作BH⊥PF于H，如图所示，

∴∠BCD=∠CDF=∠BHD=90°，

∴四边形BCDH是矩形，

∴BH=CD=，

在Rt△BPH中，sin∠BPH=，

在Rt△PEN中，sin∠BPH=，∴，

∴，

∴ND=PD-PN=，

在Rt△NED中，DE=，

∵，

∴DE=．