Question

在Rt中，，，，点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于点E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，且PM=PN，．

【小题1】（1）如图①，当点E与点C重合时，求MP的长；
【小题2】（2）设，△ENB的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出当x取何值时，y有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【小题1】解：（1）∵在Rt中，，，，
∴． …………………………1分
由面积公式可得 ．
∴． ……………………………………2分
∵PE⊥AB，，
∴
【小题2】（2）分两种情况考虑：
①当点在线段AC上时，如图②，
在Rt△AEP和Rt△ABC中，
∵，，
∴△APE∽△ACB．
∴，即 ，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．………………4分
当点E与点C重合时，．
∴自变量x的取值范围是：． …………………………………5分
②当点在线段BC上时，如图③，
在Rt△BPE和Rt△BCA中，
∵，，
∴△BPE∽△BCA．
∴，即 ，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
y与x的函数关系式为 ……………6分
当点在线段AC上时，，
此时，当时，y有最大值为．
而当点在线段BC上时，y的最大值为点E与点C重合时，显然没有大．
∴当时，y有最大值，最大值为．

解析