Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点．设AM的长为x，则x的取值范围是______．

Answer 1

【答案】2.4≤x＜4

【解析】

根据勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，得出四边形AEPF是矩形，求出AM=EF=AP，求出AP≥4.8，即可得出答案．

解：连接AP．

∵AB=6，AC=8，BC=10，

∴AB2+AC2=36+64=100，BC2=100，

∴AB2+AC2=BC2，

∴∠BAC=90°，

∵PE⊥AB，PF⊥AC，

∴∠AEP=∠AFP=∠BAC=90°，

∴四边形AEPF是矩形，

∴AP=EF，

∵∠BAC=90°，M为EF中点，

∴AM=EF=AP，

当AP⊥BC时，AP值最小，

此时S△BAC=×6×8=×10×AP，

AP=4.8，

即AP的范围是AP≥4.8，

∴2AM≥4.8，

∴AM的范围是AM≥2.4（即x≥2.4）

当P和C重合时，AM=4，

∵P和B、C不重合，

∴x＜4，

故答案为：2.4≤x＜4．