Question

【题目】已知抛物线y1＝x2﹣2x+c的部分图象如图1所示：

（1）确定c的取值范围；

（2）若抛物线经过点（0，﹣1），试确定抛物线y1＝x2﹣2x+c的解析式；

（3）若反比例函数y2＝的图象经过（2）中抛物线上点（1，a），试在图2所示直角坐标系中，画出该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象写出当y1＞y2时，对应自变量x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）c＜0；（2）y1＝x2﹣2x﹣1；（3）图详见解析，当x＜﹣1或0＜x＜1或x＞2时，y1＞y2．．

【解析】

（1）根据图1中抛物线的图象可知：c＜0且抛物线与x轴应该有两个交点，因此△＞0，由此可求出c的取值范围．

（2）将点（0，﹣1）的坐标代入抛物线中即可得出函数的解析式．

（3）求两图象交点是一个难点，两图象交点即为两图象所对应解析式构成方程组的解，观察图象，y1与y2除交点（1，﹣2）外，还有两个交点大致为（﹣1，2）和（2，﹣1），把x＝﹣1，y＝2和x＝2，y＝﹣1分别代入y1＝x2﹣2x﹣1和y2＝可知，（﹣1，2）和（2，﹣1）是y1与y2的两个交点．根据图象可知：当x＜﹣1或0＜x＜1或x＞2时，y1＞y2．

解：（1）根据图象可知c＜0，

且抛物线y1＝x2﹣2x+c与x轴有两个交点

所以一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个不等的实数根．

所以△＝（﹣2）2﹣4c＝4﹣4c＞0，且c＜0

所以c＜0．

（2）因为抛物线经过点（0，﹣1）

把x＝0，y1＝﹣1代入y1＝x2﹣2x+c

得c＝﹣1

故所求抛物线的解析式为y1＝x2﹣2x﹣1

（3）因为反比例函数y2＝的图象经过抛物线y1＝x2﹣2x﹣1上的点（1，a）

把x＝1，y1＝a代入y1＝x2﹣2x﹣1，得a＝﹣2

把x＝1，a＝﹣2代入y2＝，得k＝﹣2

所以y2＝，

画出y2＝的图象如图所示．

观察图象，y1与y2除交点（1，﹣2）外，还有两个交点大致为（﹣1，2）和（2，﹣1）

把x＝﹣1，y2＝2和x＝2，y2＝﹣1；

分别代入y1＝x2﹣2x﹣1和y＝可知：（﹣1，2）和（2，﹣1）是y1与y2的两个交点

根据图象可知：当x＜﹣1或0＜x＜1或x＞2时，y1＞y2．