题目内容

请阅读下列材料：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如图1，若弦AB、CD交于点P，则PA•PB=PC•PD．请你根据以上材料，解决下列问题．

已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP=1，过点P任作-弦AC，过A、C两点分别作⊙O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R．（如图2）
（1）若AC恰经过圆心O，请你在图3中画出符合题意的图形，并计算： $数学公式$ 的值；
（2）若OP⊥AC，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算： $数学公式$ 的值；
（3）若AC是过点P的任一弦（图2），请你结合（1）（2）的结论，猜想： $数学公式$ 的值，并给出证明．

解：（1）AC过圆心O，且m，n分别切⊙O于点A，C，
∴AC⊥m于点A，AC⊥n于点C．
∴Q与A重合，R与C重合．
∵OP=1，AC=4，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

（2）连接OA，
∵OP⊥AC于点P，且OP=1，OA=2，

∴∠OAP=30°．
∴AP= $\text{[math]}$ ．
∵OA⊥直线m，PQ⊥直线m，
∴OA∥PQ，∠PQA=90°．
∴∠APQ=∠OAP=30°．
∴AP= $\text{[math]}$ ．
∵OA⊥直线m，PQ⊥F直线m，
∴OA∥PQ，∠PQA=90°．
∴∠APQ=∠OAP=30°．
在Rt△AQP中，PQ= $\text{[math]}$ ，同理，PR= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．

（3）猜想 $\text{[math]}$ ．
证明：过点A作直径交⊙O于点E，连接EC，
∴∠ECA=90°．
∵AE⊥直线m，PQ⊥直线，
∴AE∥PQ且∠PQA=90°．
∴∠EAC=∠APQ．
∴△AEC∽△PAQ．
∴ $\text{[math]}$ ①
同理可得： $\text{[math]}$ ②
①+②，得：
$\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
过P作直径交⊙O于M，N，
根据阅读材料可知：AP•PC=PM•PN=3，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由于AC过圆心，那么Q，A重合，R，C重合，可根据OP和半径的长求出PA，PC的长，即PQ，PR的长．由此可得出所求的结论；
（2）连接OA，不难得出OA∥PQ，那么可得出∠OAP=∠APQ，可先在直角三角形OAP中，求出∠OAP的度数和AP的长，进而可在直角三角形APQ中求出PQ的长，同理可求出PR的长，即可求出所求的结论；（本题还可通过证△ADP和△PAQ相似，得出 $\text{[math]}$ 的值，同理可连接CD得出 $\text{[math]}$ 的值）
（3）本题要通过相似三角形来求解．过点A作直径交⊙O于点E，连接EC，通过相似三角形△AEC∽△PAQ，得出关于AC，PQ，AE，AP的比例关系式，同理可求出AC，PR，AE，PC的比例关系式，两式联立可得出 $\text{[math]}$ 的表达式，然后根据相交弦定理即可证得所求的结论．
（第二种证法和（2）的第二种求法完全相同．）
点评：本题主要考查了相似三角形和相交弦定理的应用，根据相似三角形得出与所求相关的线段成比例是解题的关键．