Question

P为正方形ABCD内部一点，PA=1，PD=

2

，PC=

3

，求阴影部分的面积S_ABCP．

Answer 1

分析：将△PAD绕点D逆时针旋转90°到△P′CD的位置，连接PP′，根据旋转的性质得P′C=AP=1，DP′=DP=

2

，∠APD=∠DP′C，于是△DPP′为等腰直角三角形，则PP′=

2

DP=

2

×

2

=2，∠DPP′=∠DP′P=45°，在△PP′C中根据勾股定理的逆定理易得△PP′C为直角三角形，∠P′CP=90°，并且∠P′PC=30°，∠PP′C=60°，则∠DP′C=∠DP′P+∠PP′C=45°+60°=105°，得到∠APD=105°，于是有∠APD+∠DPP′+∠P′PC=105°+45°+30°=180°，得到点A、P、C共线，所以阴影部分为等腰直角三角形，斜边为（

3

+1），然后根据等腰直角三角形的面积公式计算即可．

解答：解：将△PAD绕点D逆时针旋转90°到△P′CD的位置，连接PP′，如图，
∵∠ADC=90°，DA=DC，
∴DA与DC重合，∠PDP′=∠ADC=90°，
∴P′C=AP=1，DP′=DP=

2

，∠APD=∠DP′C，
∴△DPP′为等腰直角三角形，
∴PP′=

2

DP=

2

×

2

=2，∠DPP′=∠DP′P=45°，
在△PP′C中，PC=

3

，PP′=2，P′C=1，
∴PC²+P′C²=P′P²，
∴△PP′C为直角三角形，∠P′CP=90°，
而P′C=

1

2

PP′，
∴∠P′PC=30°，∠PP′C=60°，
∴∠DP′C=∠DP′P+∠PP′C=45°+60°=105°，
∴∠APD=105°，
∴∠APD+∠DPP′+∠P′PC=105°+45°+30°=180°，
∴点A、P、C共线，
∴阴影部分为等腰直角三角形，斜边为（

3

+1），
∴阴影部分的面积S_ABCP=

1

2

（

3 +1

2

）²=

2+ 3

2

．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理的逆定理、正方形和等腰直角三角形的性质．