Question

如图在边长为2的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点，以O为圆心，以OE为半径画弧EF．P是

EF

上的一个动点，连接OP，并延长OP交线段BC于点K，过点P作⊙O的切线，分别交射线AB于点M，交直线BC于点G．若

BG

BM

=3，则BK=

 

．

Answer 1

分析：根据MG与⊙O相切得OK⊥MG．设直线OK交AB的延长线于点H，易证∠MGB=∠BHK．根据三角函数定义，tan∠MGB=tan∠BHK=

BM

BG

=

1

3

，从而有AH=3，BH=3BK．因为AB=2，所以BH=1，可求BK．
P为动点，当P接近F点时，本题另有一个解．

解答：解：（1）若OP的延长线与射线AB的延长线相交，设交点为H．如图1，
∵MG与⊙O相切，
∴OK⊥MG．
∵∠BKH=∠PKG，
∴∠MGB=∠BHK．
∵

BG

BM

=3，
∴tan∠BHK=

1

3

．
∴AH=3AO=3×1=3，
BH=3BK．
∵AB=2，
∴BH=1，
∴BK=

1

3

．

（2）若OP的延长线与射线DC的延长线相交，设交点为H．如图2，
同理可求得BK=

5

3

．

综上所述，本题应填

1

3

，

5

3

．

点评：此题考查了切线的性质及三角函数等知识点，综合性强，难度较大．
本题需要特别注意有2个解，不要漏解．