Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+ 与直线AB交于点A（﹣1，0），B（4， ），点D是抛物线A、B两点间部分上的一个动点（不与点A、B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD．

（1）求抛物线的表达式；
（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵由题意得 解得： ，

∴y=﹣ x2+2x+

（2）

解：设直线AB为：y=kx+b．则 ，解得

直线AB的解析式为y= x + ．

如图所示：记CD与x轴的交点坐标为E．过点B作BF⊥DC，垂足为F．

设D（m，﹣ m2+2m+ ）则C（m， m+ ）．

∵CD=（﹣ m2+2m+ ）﹣（ m+ ）= m2+ m+2，

∴S= AEDC+ CDBF= CD（AE+BF）= DC= m2+ m+5．

∴S= m2+ m+5．

∵﹣ ＜0，

∴当m= 时，S有最大值．

∴当m= 时， m+ = × + = ．

∴点C（ ， ）

【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式，求得a、b的值，从而得到抛物线的解析式；（2）设直线AB为：y=kx+b．将A、B的坐标代入可得到k，b的方程组，从而可求得k，b于是得到直线AB的解析式，记CD与x轴的交点坐标为E．过点B作BF⊥DC，垂足为F．设D（m，﹣ m2+2m+ ）则C（m， m+ ），依据三角形的面积公式可得到S与m的函数关系式，接下来由抛物线的对称轴方程，可求得m的值，于是可得到点C的坐标．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．