Question

抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C；
（1）Q（2，k）是该抛物线上一点，且AQ⊥BQ，则ak的值为______．
（2）若点A（-1，0），B（3，0）C（0，3）．
①求抛物线的解析式；
②点M在x轴上方抛物线上，点N在y轴负半轴上，且四边形ACMN是等腰梯形，求点M的坐标．

Answer 1

解：（1）如图，过Q点作QE⊥AB于E．假设点A（x₁，0）、点B（x₂，0），
∵AQ⊥BQ，EQ⊥AB，
∴Rt△AEQ∽Rt△QEB，
∴EQ²=AE•BE，
又∵AE•BE=（2-x₁）（x₂-2）=-x₁x₂+2（x₁+x₂）-4=-4，CQ=|k|，
∴k²=-4，
∴-ak²=4a+2b+c，
∵点Q是抛物线上一点，
∴4a+2b+c=k．
∴-ak²=k，
即ak=-1．
故答案为：-1．

（2）①，
解得：，
∴y=-x²+2x+3；
②连接AM交y轴于P，由等腰梯形的对称性得AP=CP，
设OP=m，则1+m²=（3-m）²，
解得：，
则点P坐标为（0，）
设直线AM的解析式为y=px+q，则，
解得，
∴直线AM的解析式为，
解方程组，
得或（舍）
∴点M（，）．
分析：（1）首先过Q点作QE⊥AB于E．结合AQ⊥BQ，不难证得Rt△AEQ∽Rt△AQB，进而得到EQ²=AE•BE．分别用A、B、Q点的横坐标表示AE•BE=（2-x₁）（x₂-2）=-x₁x₂+2（x₁+x₂）-4．由于A、B两点是抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点，利用根与系数的关系，不难得到x₁+x₂=，x₁x₂=．根据已知Q（2，k）是该抛物线上一点，可得到4a+2b+c=k．将x₁•x₂ 、x₁+x₂代入AE•BE的代数式结合4a+2b+c=k即可求得ak的值．
（2）①由于用A、B、C三点在抛物线y=ax²+bx+c上，将三点的坐标值代入联立组成方程组可解得a、b、c的值．则抛物线的解析式即可确定．
②连接AM交y轴于P，由等腰梯形的对称性得AP=CP．因而利用勾股定理可求得P点的坐标值，那么A、P两点的坐标可求得直线AP的解析式．M点为直线AP与抛物线的交点，联立组成方程组即可解得M点的坐标．
点评：本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法、等腰梯形的对称性、相似三角形的判定与性质等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．