Question

菱形ABCD中，如果AB²=BD•AC，则∠ABC的度数是

1. A.
   60°
2. B.
   30°
3. C.
   60°或120°
4. D.
   30°或150°

Answer 1

C
分析：首先设AB=a，由四边形ABCD是菱形，即可求得OA²+OB²=AB²=a²，又由AB²=BD•AC，易求得OA•OB=a²，继而求得OA+OB=a，则可知OA，OB是方程：x²-ax+a=0的解，继而求得OA的值，然后利用特殊角的三角函数值，求得∠ABC的度数．
解答：解：设AB=a，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC，OB=BD，
∴在Rt△AOB中，OA²+OB²=AB²=a²，
∵AB²=BD•AC=4OA•OB=a²，
∴OA•OB=a²，
∴（OA+OB）²=OA²+OB²+2OA•OB=a²+a²=a²，
∴OA+OB=a，
∴OA，OB是方程：x²-ax+a=0的解，
解得：x₁=，x₂=a，
当OA=a时，sin∠ABO==，
∴∠ABO=30°，
∴∠ABC=2∠ABO=60°；
当OA=a时，sin∠ABO==，
∴∠ABO=60°，
∴∠ABC=2∠ABO=120°．
∴∠ABC的度数是：60°或120°．
故选C．
点评：此题考查了菱形的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值以及一元二次方程的根与系数的关系．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用．