Question

如图，已知二次函数的图象过点O（0，0），A（4，0），B（2，﹣），M是OA的中点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设P是抛物线上的一点，过P作x轴的平行线与抛物线交于另一点Q，要使四边形PQAM是菱形，求P点的坐标；
（3）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得曲线OB′A（B′为B关于x轴的对称点），在原抛物线x轴的上方部分取一点C，连接CM，CM与翻折后的曲线OB′A交于点D．若△CDA的面积是△MDA面积的2倍，这样的点C是否存在？若存在求出C点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1) y=x²﹣x．(2) P（1，﹣）．(3) 点C的坐标为（2+2，）或（2﹣2，）．

解析试题分析：（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）由四边形PQAM是菱形，可知PQ=2且PQ∥x轴，因此点P、Q关于对称轴x=2对称，可得点P横坐标为1，从而求出点P的坐标；
（3）假设存在满足条件的点C．由△CDA的面积是△MDA面积的2倍，可得点C纵坐标是点D纵坐标的3倍，由此列方程求出点C的坐标．
试题解析：（1）∵抛物线过原点，∴设其解析式为：y=ax²+bx．
∵抛物线经过点A（4，0），B（2，﹣），
∴，解得，
∴二次函数解析式为：y=x²﹣x．
（2）∵y=x²﹣x=（x﹣2）²﹣，
∴抛物线对称轴为直线：x=2．
∵四边形PQAM是菱形，
∴PQ=MA=2，PQ∥x轴．
∴点P、Q关于对称轴x=2对称，
∴点P横坐标为1．
当x=1时，y=﹣=﹣．
∴P（1，﹣）．
（3）依题意，翻折之后的抛物线解析式为：y=﹣x²+x．
假设存在这样的点C，
∵△CDA的面积是△MDA面积的2倍，
∴CD=2MD，∴CM=3MD．
如图所示，分别过点D、C作x轴的垂线，垂足分别为点E、点F，则有DE∥CF．

∴，
∴CF=3DE，MF=3ME．
设C（x，x²﹣x），
则MF=x﹣2，ME=MF=（x﹣2），OE=ME+OM=x+
∴D（x+，﹣（x+）²+（x+））．
∵CF=3DE，
∴x²﹣x=3[﹣（x+）²+（x+）]，
整理得：x²﹣4x﹣8=0，
解得：x₁=2+2，x₂=2﹣2．
∴y₁=，y₂=，
∴存在满足条件的点C，点C的坐标为（2+2，）或（2﹣2，）．
考点：二次函数综合题．