Question

如图，经过原点的抛物线y=-x²+bx（b＞2）与x轴的另一交点为A，过点P（1，）作直线PN⊥x轴于点N，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．连结CB，CP．
（1）当b=4时，求点A的坐标及BC的长；
（2）连结CA，求b的适当的值，使得CA⊥CP；
（3）当b=6时，如图2，将△CBP绕着点C按逆时针方向旋转，得到△CB′P′，CP与抛物线对称轴的交点为E，点M为线段B′P′（包含端点）上任意一点，请直接写出线段EM长度的取值范围．

Answer 1

（1）（4，0），2；（2）3；（3）4-≤EM≤3．

解析试题分析：（1）利用抛物线y=-x²+4x，求出点A的坐标及BC的长，
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，利用△CBP∽△CDA，求出b的值．
（3）利用抛物线y=-x²+6x，求出BC，PC及EP的长，再分两种情况①当BC在CP上时，且M点与B′点重合时线段EM最短，②当BC在PC延长线上时，且M点与P′点重合时线段EM最长，求出线段EM长度的取值范围．
试题解析：（1）∵b=4，
∴抛物线y=-x²+4x，
在y=-x²+4中，
令y=0，得-x²+4x=0，
∴x₁=0，x₂=4
∴A（4，0）
令x=1，得y=3
∴B（1，3）
∵对称轴x=-=2
∴C（3，3）
∴BC=2
（2）如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，

∵∠BCP+∠PCD=90°，∠DCA+∠PCD=90°，
∴∠BCP=∠DCA，
又∵∠CBP=∠CDA=90°
∴△CBP∽△CDA
∴
在y=-x²+bx中，
令x=1，则y=b-1
∴B（1，b-1）
又∵对称轴x=-，
∴BC=2（-1）=b-2，
∴C（b-1，b-1），
∴CD=b-1，BC=b-2，DA=ON=1，BP=b-1-=-1，
∴，
∴b=3．
（3）∵b=6，
∴抛物线y=-x²+6x
在y=-x²+6x中，
令x=1，得y=5
∴B（1，5）
∵对称轴x=
∴C（5，5）
∴BC=4，
∵P（1，），
∴P（1，3），
∴BP=5-3=2，
∴PC=
∵CP与抛物线对称轴的交点为E，
∴EP=EC=PC=，
①如图2，当BC在CP上时，且M点与B′点重合时线段EM最短，

∴EM=EP-（PC-BC）=-（2-4）=4-．
②如图3，当BC在PC延长线上时，且M点与P′点重合时线段EM最长，

EM=EC+P′C=+2=3．
∴4-≤EM≤3．
考点：二次函数综合题．