Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是⊙O的直径，弦DE与AC交于点E，且BD=BF．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面积．

Answer 1

（1）证明：连接OE，
∵BD=BF，
∴∠BDF=∠F，
∵OD=OE，
∴∠BDF=∠OED，
∴∠ODE=∠F，
∴OE∥BC，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠OEA=90°，
即OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；

（2）设半径为x，
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
∵BC=6，AD=4，
∴AO=4+x，AB=4+2x，
∴，
解得：x=4或x=-3（舍去）．
∴⊙O的面积为：16π．
分析：（1）连接OE，由OD=OE，BD=BF，易证得∠OED=∠F，即可得OE∥BC，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，即可得AC是⊙O的切线；
（2）首先设半径为x，易得△AOE∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得半径，继而求得答案．
点评：此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．