Question

【题目】综合与实践：折纸中的数学

问题情境：数学活动课上，老师让同学们折叠正方形纸片ABCD进行探究活动，兴趣小组的同学经过动手操作探究，提出了如下两个问题：

问题1：如图（1），若点E为BC的中点，设AE将正方形纸片ABCD折叠，点B的对应点为B′，连接B′C，求证：B′C∥AE．

问题2：如图（2），若点E，点F分别为边BC，边AD的中点，沿AE、CF将正方形纸片ABCD折叠，点B的对应点为B′，点D的对应点D′，D′F与AB′交于点H，B′E与CD′交于点G，求证：四边形D′GB′H为矩形．

（1）解决问题：请你对兴趣小组提出的两个问题进行证明．

（2）拓展探究：解决完兴趣小组提出的两个问题后，实践小组的同学们进行如下实践操作：如图（3），点E，点F分别为BC、AD上的点，将正方形纸片沿AE、CF折叠，使得点B落在对角线上的点B′处，点D落在对角线AC上的点D′处，AE与对角线BD的交点为M，CF与对角线BD的交点为N，分别连接MB′，B′N，D′N，D′M．他们认为四边形MB′ND′为正方形．

实践小组的同学们发现的结论是否正确？请你说明理由．

Answer 1

【答案】问题1：证明见解析；问题2：证明见解析；（1）解决问题：证明见解析；（2）拓展探究：实践小组的同学们发现的结论是正确的．证明见解析.

【解析】(1)根据△ABE和△AB′E关于AE对称，得∠AEB=∠AEB′，BE=B′E，

证得∠EB′C=∠ECB′，由∠AEB=∠B′CE，得AE∥B′C，

（2）证∠D=∠D′=90°，∠AHF=∠B′HD′=90°，可得四边形D′DB′H是矩形．

（3）连接BB′、DD′，则BB′⊥AE，DD′⊥CF．通过正方形性质，证△AMO≌△BB′O，

△BAM≌△DCN，得OM=OB′=ON=OD′，可证四边形MB′ND′是矩形，又AC⊥BD，故四边形MB′ND′是正方形．

（1）问题1：证明：如图1中，

∵△ABE和△AB′E关于AE对称，

∴∠AEB=∠AEB′，BE=B′E，

∵BE=EC，

∴B′E=EC，

∴∠EB′C=∠ECB′，

∵∠BEB′=∠EB′C+∠ECB′，

∴∠AEB=∠B′CE，

∴AE∥B′C，

问题2：证明：如图2中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，

∵BE=DF，

∴△ABE≌△CDF，

∴∠BAE=∠DCF，

∵∠BAE=∠B′AE，∠DCF=∠D′CF，

∴∠BAB′=∠DCD′，

∵∠D=∠D′=90°，

∴∠D′FD+∠D′CD=180°，

∵∠AFD′+∠D′FD=180°，

∴∠AFD′=∠D′CD=∠BAB′，

∵∠B′AD+∠BAB′=90°，

∴∠AFD′+∠B′AF=90°，

∴∠AHF=∠B′HD′=90°，

∴四边形D′DB′H是矩形．

（2）拓展探究：实践小组的同学们发现的结论是正确的．

证明：如图3中，连接BB′、DD′，则BB′⊥AE，DD′⊥CF．

∵四边形ABCD是正方形，

∴OA=OB=OC=OD，AC⊥BD，

∴∠MAO+∠AMO=90°，∠OBB′+∠BME=90°，

∵∠AMO=∠BME，

∴∠MAO=∠OB′B，

∴△AMO≌△BB′O，

∴OM=OB′，同理ON=OD′，

∵∠BAM=∠DCN，∠ABM=∠CDN，AB=CD，

∴△BAM≌△DCN，

∴MB=DN．

∴OM=ON，

∴OM=OB′=ON=OD′，

∴四边形MB′ND′是矩形，

∴AC⊥BD，

∴四边形MB′ND′是正方形．