Question

4．在△ABC中，CE，BD分别是边AB，AC上的高，F是BC边上的中点．
（1）指出图中的一个等腰三角形，并说明理由．
（2）若∠A=x°，求∠EFD的度数（用含x的代数式表达）．
（3）猜想∠ABC和∠EDA的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质得到EF=$\frac{1}{2}$BC，DF=$\frac{1}{2}$BC，等量代换即可；
（2）根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算；
（3）根据圆内接四边形的性质解答．

解答 解：（1）△DEF是等腰三角形．
∵CE，BD分别是边AB，AC上的高，F是BC边上的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC，DF=$\frac{1}{2}$BC，
∴EF=DF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵FE=FB，FD=FC，
∴∠FEB=∠FBE，∠FDC=∠FCD，
∴∠FEB+∠FDC=∠FBE+∠FCD=180°-∠A=180°-x°，
∠AED+∠ADE=180°-∠A=180°-x°，
∴∠FED+∠FDE=360°-（180°-x°）-（180°-x°）=2x°，
∴∠EFD=180°-2x°；
（3）∠ABC=∠EDA．
∵∠BEC=∠BDC=90°，
∴B、E、D、C四点共圆，
∴∠ABC=∠EDA．

点评 本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定和圆内接四边形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．