Question

【题目】如图，内接于⊙，是⊙的直径，，连接交于点，延长至点，使，连接．

（1）判断直线与⊙的位置关系，并说明理由．

（2）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）直线是⊙的切线，理由见解析；（2）16.

【解析】

（1）连接AC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠CAN=∠EAC，∠E=∠EAC，得到∠B=∠FAC，等量代换得到∠FAC+∠BAC=90°，求得OA⊥AF，于是得到结论；
（2）过点C作CM⊥AE，根据三角函数的定义得到，设CM=3x，则AM=4x，根据勾股定理即可得到结论．

解：（1）直线是⊙的切线，理由是：连接，

∵为⊙直径，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵点在⊙上，

∴直线是⊙的切线；

（2）过点作，

∵，

∴，

∵，

∴设，则，

在中，根据勾股定理，，

∴，

解得，

∴，

∵，

∴．