Question

【题目】如图，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x＝﹣，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D，在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA，OB，OD，BD．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，将△BPF沿边PF翻折，得到△B′PF，使△B′PF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的，若点B′在OD上方，求线段PD的长度；

（3）在（2）的条件下，过B′作B′H⊥PF于H，点Q在OD下方的抛物线上，连接AQ与B′H交于点M，点G在线段AM上，使∠HPN+∠DAQ＝135°，延长PG交AD于N．若AN+B′M＝，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+3x；（2）PD＝3；（3）Q（﹣，）．

【解析】

（1）根据二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x＝﹣，列出方程组即可解决问题．

（2）如图1中，首先求出直线AC与抛物线的交点B坐标，再证明DP′＝PP′，推出四边形BFB′P是菱形，在RT△POB中求出OP即可解决问题．

（3）如图2中，过A作AI⊥HP，可得四边形AB′HI是正方形，过A作AL∥PN，连接ML，在Rt△MHL中，由ML2＝MH2+HL2列出方程即可解决问题．

解：（1）由题意得，解得，

二次函数的解析式为；

（2）如图1中，，，

设直线解析式为，则，

解得．

直线 解析式为，

由解得或，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

四边形是平行四边形，

四边形是菱形，

，

在上，，

在中，，

；

（3）如图2中，由（2）得，’ ．

过作，可得四边形是正方形，过作，连接．

由得，

，

设，则，

，

，

，

在中，，，

解得，

，

直线解析式为：，

由解得或，

，．