题目内容
如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG如图放置，连接AG、AE；（1）求证：AG=AE；
（2）过点F作FP⊥AE于P，交AB、AD于M、N，交AE、AG于P、Q，交BC于H，求证：NH=FM．
分析：（1）先证明△ABG≌△ADE，再根据全等三角形的性质即可得出；
（2）过M作MK⊥BC于K，通过证明△MHK≌△AED，可得MH=AE=AG，再根据平行线分线段成比例可证NH=FM．
（2）过M作MK⊥BC于K，通过证明△MHK≌△AED，可得MH=AE=AG，再根据平行线分线段成比例可证NH=FM．
解答：证明：（1）∵BC-GC=CD-EC，
∴BG=DE，
在△ABG与△ADE中，
，
∴△ABG≌△ADE（SAS），
∴AG=AE；
（2）过M作MK⊥BC于K．
在△MHK与△AED中，
∵∠MKH=∠ADE=90°，MK=AD，∠HMK=∠EAD=90°-∠AMP，
∴△MHK≌△AED，
∴MH=AE，
由（1）知AE=AG，
∴MH=AE=AG．
可得∠AGH=∠MHG，
∴QH=QG，
∵AM∥HG，
∴
=
，
∴QM=QA，QH=QG，
∴QM=QN，QF=QH，
∴NH=MF．
∴BG=DE，
在△ABG与△ADE中，
|
∴△ABG≌△ADE（SAS），
∴AG=AE；
（2）过M作MK⊥BC于K．
在△MHK与△AED中，
∵∠MKH=∠ADE=90°，MK=AD，∠HMK=∠EAD=90°-∠AMP，
∴△MHK≌△AED，
∴MH=AE，
由（1）知AE=AG，
∴MH=AE=AG．
可得∠AGH=∠MHG，
∴QH=QG，
∵AM∥HG，
∴
| QH |
| QM |
| QG |
| QA |
∴QM=QA，QH=QG，
∴QM=QN，QF=QH，
∴NH=MF．
点评：本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，难度中等．
练习册系列答案
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