Question

【题目】已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C。

（1）如图①，若AB＝2，∠P＝30°，求AP的长（结果保留根号）；

（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）易证PA⊥AB，再通过解直角三角形求解；

（2）本题连接OC，证出OC⊥CD即可．首先连接AC，得出直角三角形ACP，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得CD＝AD，再利用等腰三角形性质可证∠OCD＝∠OAD＝90°，从而解决问题．

解：（1）∵AB是⊙O的直径，AP是切线，

∴∠BAP＝90°．

在Rt△PAB中，AB＝2，∠P＝30°，

∴BP＝2AB＝2×2＝4．

由勾股定理，得．

（2）如图，连接OC、AC．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA＝90°，

∴∠ACP＝180°﹣∠BCA＝90°，

在Rt△APC中，D为AP的中点，

∴，

∴∠4＝∠3，

∵OC＝OA，

∴∠1＝∠2，

∵∠2+∠4＝∠PAB＝90°，

∴∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°，

即OC⊥CD，

∴直线CD是⊙O的切线．