Question

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC于D，AE是△ABC中线．下列结论正确的有（　　）
①△AEC是等边三角形；②△AED的面积是△ABC面积的

1

4

；③若DC=a，则AE=

3a

2

；④若DC=a，则AB=2

3

a；⑤沿AE、AD剪开所成的三个三角形可以拼成一个菱形．

A．5个

B．4个

C．3个

D．2个

Answer 1

分析：Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC于D，AE是△ABC中线，则AE=EC=AC，可判断①；根据面积的计算公式可判断②；DC=

1

2

EC=

1

2

AE，AB=

3

AC=2

3

DC，可判断③和④；可通过实际操作判断⑤；

解答：解：∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC于D，AE是△ABC中线，
则AE=EC=AC，△AEC是等边三角形．故①正确；
∵DE=

1

2

EC=

1

4

BC，根据三角形的面积计算公式可知△AED的面积是△ABC面积的

1

4

，故③正确；
∵DC=

1

2

EC=

1

2

AE，AB=

3

AC=2

3

DC，
∴AE=2a，AB=2

3

a，故③错误，④正确；
沿AE、AD剪开所成的三个三角形可以拼成一个菱形，如图所示：
故⑤正确．
故结论正确的有①②④⑤，共4个．
故选B．

点评：本题考查含30度角的直角三角形的性质及图形剪拼的问题，难度适中，解题关键是对含30度角直角三角形性质的熟练掌握．