Question

有四个同样大小边长为a的六角螺母如图所示排列，则图中三角形ABC的面积等于

 

．

Answer 1

分析：设四个正六边形的边长是a，再分别以AB、BC、AC为边构造出直角三角形，利用勾股定理判断出△ABC的形状，再根据三角形的面积公式即可解答．

解答：解：设四个正六边形的边长是a，连接AD，BE，CF，AK并延长，使AK与CF相交于点G，BE的延长线与FC的延长线相交于点F，
∵这四个六角螺母是大小相等的正六边形，
∴∠AHD=120°，AH=DH，
∴∠ADH=

180°-∠AHD

2

=

180°-120°

2

=30°，
∴∠ADB=∠BDH-∠ADH=120°-30°=90°，
∴△ABD是直角三角形，
同理可得△ALN是等腰三角形，
过L作LM⊥AD，则AD=4AM=4AM•cos∠MAL=4×

3

2

a=2

3

a，
∴AB=

AD2+BD2

=

(2 3 a)2+a2

=

13

a；
同理可知，BC=AC=AB=

13

a，即△ABC是等边三角形，
∴S_△ABC=

1

2

BC×

3

BC=

3

2

a²．

点评：本题考查的是面积及等积变换，解答此题的关键是熟知正六边形的特点、等边三角形及等腰三角形的性质、勾股定理的相关知识．